קיץ 2026 — הסברים לפרק שני בחשיבה כמותית

חישוב הסכום שבקופהכל מטבע שווה אגורות, ולכן כל עשרה מטבעות מצטרפים יחד לשקל אחד. מכאן שכדי לדעת כמה שקלים יש בקופה די לחלק את מספר המטבעות ב-:בקופה יש אפוא שקלים.

כמה שטרות של 20 שקלים אפשר לקבלנבדוק כמה פעמים שלמות נכנס בתוך :כלומר שקלים מכילים שני שטרות של שקלים, ונותרת שארית של שקלים - סכום שאינו מספיק לשטר שלישי. לכן דוד יוכל לקבל שני שטרות לכל היותר.

הצבת הנתון בהגדרת הפעולההגדרת הפעולה אומרת שכדי להפעיל את על מספר כלשהו, מציבים אותו במקום בביטוי . נציב אפוא ונשווה לנתון :

פתרון המשוואהנתון ש-, ולכן ומותר לכפול את שני האגפים ב-:נעביר את כל האיברים לאגף אחד ונקבל משוואה ריבועית:אגף שמאל הוא נוסחת כפל מקוצר:מכפלה מתאפסת רק כאשר אחד הגורמים מתאפס, ולכן ומכאן .

חישוב נפח הקובייהבקובייה כל שלושת המימדים שווים, ולפי הסרטוט אורך המקצוע הוא ס"מ. לכן נפח הקובייה הוא:כדאי להשאיר את הנפח בצורת חזקה ולא לפשט אותו - בהמשך נחלק ב-, והחזקה תתקצר מאליה.

ביטוי נפח הגלילנפח גליל הוא מכפלת שטח בסיסו בגובהו. הבסיס הוא עיגול שרדיוסו ס"מ, ולכן שטחו , וגובה הגליל הוא ס"מ. לכן נפח הגליל הוא:

השוואת שני הנפחיםנתון שהנפחים שווים:נחלק את שני האגפים ב-. באגף ימין מצטמצם מול ונותר :

חילוץ הרדיוסנוציא שורש משני האגפים. מכיוון שרדיוס הוא בהכרח חיובי, לוקחים את השורש החיובי בלבד:

פירוק הבחירה לשתי בחירות נפרדותהרכב הוועד נקבע לגמרי על ידי שתי בחירות: איזו בת נבחרת ואיזה בן נבחר. מספר האפשרויות השונות לבחירת הבת הוא - כמספר הבנות בכיתה - ומספר האפשרויות השונות לבחירת הבן הוא . שתי הבחירות אינן תלויות זו בזו: כל בת יכולה להצטרף לכל בן.

כפל מספרי האפשרויותלפי שיטת הצירופים, כאשר בחירה מורכבת משתי בחירות בלתי תלויות, מספר הצירופים האפשריים הוא מכפלת מספרי האפשרויות של כל בחירה:כלומר לכל אחת מ- הבנות אפשר לצרף כל אחד מ- הבנים.

הוצאת גורם משותף באגף שמאלבשני האיברים שבאגף שמאל מופיע הגורם , ולכן אפשר להוציאו מחוץ לסוגריים:

הוצאת גורם משותף באגף ימיןכדי לקבל באגף ימין את אותו ביטוי , נוציא את הגורם :המשוואה מקבלת אפוא את הצורה:

חילוק בגורם המשותףנתון ש-, ולכן ומותר לחלק את שני האגפים בביטוי זה:

העיקרון המרכזי - במשולש יש לכל היותר זווית אחת שאינה חדהסכום זוויות המשולש הוא מעלות. אילו היו במשולש שתי זוויות שגודלן מעלות לפחות, סכומן לבדו היה מגיע ל- מעלות לפחות, ולזווית השלישית לא היה נותר דבר. לכן לכל היותר זווית אחת במשולש אינה חדה, והיא בהכרח הזווית הגדולה מכולן.

בדיקת תשובה (1)נתון בה ש- ו-, כלומר גדולה משתי האחרות. לפי העיקרון, הזווית היחידה שיכולה להיות ישרה או קהה היא הגדולה ביותר, ולכן ו- הן בהכרח זוויות חדות. הטענה נכונה תמיד.

העברת הזווית x אל תוך המשולשהזווית והזווית הן זוויות מתחלפות בין המקבילים ו-, ולכן הן שוות:

הזווית השנייה במשולשנתון , ולכן המשולש שווה-שוקיים ושתי זוויות הבסיס שלו שוות זו לזו. מכאן:

שימוש בזווית חיצוניתהזווית צמודה לזווית המשולש שבקדקוד , ולכן היא זווית חיצונית למשולש. זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה - כאן ו-:ומכאן:

הצבה ראשונה - הקטנים ביותר שמותריםבשאלת "בהכרח" די בדוגמה נגדית אחת כדי לפסול תשובה. נתחיל מן הערכים הנוחים ביותר שהנתונים מתירים: ו-. נחשב את שלושת הביטויים שיידרשו לנו:

הצבה שנייה - הקטנת y פוסלת את תשובה (4)נשאיר ונקטין את ל-. אז:תשובה (4) טוענת ש-, אך כאן . נפסלת. נותרה תשובה (1) בלבד.

פירוק 156 לגורמים ראשונייםהדרך הפשוטה היא לפרק את לגורמים הראשוניים המרכיבים אותו, צעד אחר צעד:כלומר:

בדיקת תשובה (1)המספר הוא , כלומר הוא דורש שלושה גורמי . בפירוק של מופיע הגורם פעמיים בלבד, ולכן אינו מחלק אותו.

המרחק ההתחלתי כולו הוא 3xבתום השעה הראשונה כל חיפושית נמצאת במרחק מטרים מנקודת ההתחלה שלה, וביניהן יש עוד מטרים. אם נמתח את כל התמונה על קו אחד נקבל שלושה קטעים שאורך כל אחד מהם , זה לצד זה - ולכן המרחק ההתחלתי בין שתי החיפושיות היה מטרים.

מה עברה כל חיפושית בשעה הראשונהבשעה הראשונה הלכה כל חיפושית שעה אחת במהירות מטרים לשעה, ולכן עברה מטרים. מן הסרטוט עולה שהמרחק הזה הוא , ומכאן:

מה עברה כל חיפושית בשעה השנייהנותר ביניהן מרחק של מטרים, ובתום השעה השנייה הן נפגשו באמצע הדרך - כלומר כל אחת מהן עברה בשעה זו בדיוק מחצית מן המרחק שנותר:זהו המרחק שעברה כל חיפושית בשעה השנייה, ומכיוון שהלכה שעה אחת במהירות מטרים לשעה:

השוואה בין שתי המהירויותקיבלנו ו-. לכן גדול פי מ-:

מצב (1) - מתקבל ישירות מן הנתוןנחלק את שני אגפי הנתון ב-. אם שלילי, החלוקה הופכת את כיוון האי-שוויון:כלומר בכל מקרה שבו שלילי, הנתון עצמו מחייב את מצב (1). המצב אפשרי.

מצבים (2) ו-(3) - הצבה אחת מספיקה לשניהםנציב , ו-. נבדוק תחילה שהנתון מתקיים:ועתה נבחן את שני המצבים באותה הצבה:

מסקנהשלושת המצבים אפשריים, ולכן אין ביניהם מצב שאינו אפשרי.

זיהוי המרובע המודגשהמרובע המודגש הוא : שתי צלעותיו האופקיות הן (הצלע העליונה של המתומן) ו- (הצלע התחתונה שלו), ושתי צלעותיו האנכיות הן ו-. לכן , וכל שנותר הוא למצוא את אורך הצלע האנכית.

חישוב הזווית הפנימית של המתומן המשוכללבמצולע בעל צלעות סכום הזוויות הפנימיות הוא מעלות, ובמצולע משוכלל כל הזוויות שוות. לכן:

בניית עזר - פירוק הצלע האנכית לשלושה חלקיםהקטע אנכי, והוא נמתח בין הצלע העליונה לצלע התחתונה. בצדו השמאלי של המתומן שוכנים ארבעת הקדקודים , כאשר הצלע אנכית ואורכה ס"מ. נעביר קווי עזר אופקיים מן הקדקודים ו- אל הקטע ; הם חותכים אותו לשלושה חלקים:החלק האמצעי שווה באורכו לצלע , כלומר , ואילו שני החלקים הקיצוניים הם ההיטלים האנכיים של הצלעות ו-. נסמן כל אחד מהם ב-.

חישוב ההיטל האנכי של צלע אלכסוניתהזווית היא מעלות, והצלע אנכית. לכן סוטה מן האנך ב- מעלות, והיא יוצרת עם האנך ועם האופק משולש ישר-זווית שזוויותיו . משולש כזה הוא שווה-שוקיים, ואם אורך כל ניצב הוא אזי היתר הוא . כאן היתר הוא הצלע שאורכה , ולכן:

חישוב הצלע האנכית וההיקףשני ההיטלים שווים זה לזה ואורך כל אחד מהם , ולכן:ההיקף הוא סכום ארבע הצלעות:

הלימונים הם רק מתווךמחירו של ק"ג לימונים אחד הוא סכום כסף מסוים וקבוע. הנתון מספר שבאותו סכום עצמו אפשר לקנות ק"ג תפוחים, ובאותו סכום עצמו אפשר לקנות ק"ג בננות. מכאן שאין צורך לדעת מהו הסכום: שתי הכמויות האלו עולות אותו דבר, ולכן אפשר לכתוב שקילות ישירה ביניהן ולהיפטר מן הלימונים לחלוטין:

סידור הנתונים בריבוע יחסיםנכתוב את השקילות בשתי שורות, כשבשורה השנייה מופיעה הכמות המבוקשת - ק"ג תפוחים אחד:

כפל בהצלבהבריבוע יחסים כופלים באלכסון ומשווים:ומכאן שיש לחלק את ב-. חלוקה בשבר היא כפל בשבר ההפוך:כלומר במחיר של ק"ג תפוחים אחד אפשר לקנות ק"ג בננות.

מה בעצם משתנה כאןסכום המחירים המקוריים קבוע - שקלים - ולכן הדבר היחיד שמשתנה הוא גודל ההנחה, שהיא ממחיר המוצר הזול מבין השניים. ככל שהמוצר הזול יקר יותר, ההנחה גדולה יותר והתשלום קטן יותר; וככל שהמוצר הזול זול יותר, ההנחה קטנה יותר והתשלום גדול יותר. לכן די לבדוק שני מקרי קצה: מתי המוצר הזול יקר ככל האפשר, ומתי הוא זול ככל האפשר.

הקצה הראשון - שני המוצרים באותו מחירההנחה ניתנת על הזול מבין השניים, ולכן מחירו לעולם אינו עולה על מחיר המוצר האחר. הגבול העליון מושג בדיוק כאשר שני המחירים שווים, כלומר שקלים כל אחד - ואת המקרה הזה הכלל השני במבצע מתיר במפורש וקובע שההנחה תינתן על אחד מהם. ההנחה:ולכן התשלום הוא שקלים. זהו הסכום הנמוך ביותר שדורון יכול היה לשלם.

הקצה השני - המוצר הזול הוא הזול ביותר בחנותההנחה קטנה ככל שהמוצר הזול זול יותר, אך אי אפשר לרדת ללא גבול: מחיר המוצר הזול ביותר בחנות הוא שקלים, ולכן גם המוצר הזול שדורון קנה עולה שקלים לפחות. הגבול התחתון מושג כאשר הוא עולה בדיוק שקלים (והשני ). ההנחה:ולכן התשלום הוא שקלים. זהו הסכום הגבוה ביותר שדורון יכול היה לשלם.

סיכוםבעקבות המבצע שילם דורון לכל הפחות שקלים ולכל היותר שקלים.

פישוט האיבר הראשוןנציב ונשתמש בחוק החזקות :

פישוט השורש שבמעריךנתון , ולכן . מכיוון ש-, השורש החיובי הוא עצמו:

פישוט האיבר השנינציב את התוצאה ונשתמש שוב באותו חוק חזקות:

חיבור שני האיבריםשני האיברים התגלו כזהים, ולכן סכומם הוא פשוט כפל שלהם בשניים:

רישום שלוש משוואות פיתגורסנסמן . הגובה יוצר שני משולשים ישרי-זווית נוספים, ובכל אחד מהם אפשר להפעיל את משפט פיתגורס:ובמשולש הגדול עצמו:

מציאת גובה המשולשנציב את שני הביטויים הראשונים במשוואה השלישית:ומכאן:

חישוב הצלע המבוקשתנחזור למשוואה הראשונה ונציב:

כיצד קוראים ערך מן התרשיםבתרשים שלושה צירים, ולכל אחד מהם סוג פרח משלו לפי המקרא: הציר המקווקו מציין ורדים, הציר המנוקד - חרציות, והציר הרצוף - כלניות. כדי לדעת כמה פרחים מסוג מסוים יש בזר, יוצאים מן העיגול המייצג אותו, נעים לאורך קו העזר האפור שצורתו כשל הציר הרלוונטי - כלומר הקו החותך את הציר בזווית מתאימה - וקוראים את הערך בנקודת המפגש עם הציר.

איתור ציר החרציותציר החרציות הוא הציר המנוקד. הוא מתחיל בנקודה המסומנת שבאמצע הצלע השמאלית של המשולש, עובר דרך מרכזו ומגיע עד לקדקוד הימני-תחתון המסומן .

קריאת הערך עבור הזר Eהעיגול נמצא על קו העזר המנוקד שחותך את ציר החרציות בנקודה . לכן בזר יש חרצית אחת.

זיהוי הגבול של השטח הכהההשטח הכהה הוא מחציתו השמאלית של המשולש, והגבול הימני שלו הוא בדיוק הציר המקווקו - ציר הוורדים - היורד מן הקדקוד העליון אל אמצע הצלע התחתונה.

מה מאפיין את הזרים שעל הציר עצמוציר הוורדים הוא ציר הסימטריה של המשולש ביחס לשני הקדקודים האחרים: הקדקוד השמאלי-תחתון מייצג כלניות והקדקוד הימני-תחתון מייצג חרציות. לכן בכל זר שהעיגול שלו מונח על הציר המקווקו מספר הכלניות שווה למספר החרציות. כך למשל בזר יש ורדים, חרצית אחת וכלנית אחת.

מה קורה משמאל לצירככל שמתרחקים מן הציר שמאלה מתקרבים אל קדקוד הכלניות ומתרחקים מקדקוד החרציות, ולכן מספר הכלניות גדל ומספר החרציות קטן. לדוגמה, בזר - המונח בתוך השטח הכהה - יש כלניות מול חרצית אחת בלבד. מכאן שבכל הזרים שבשטח הכהה, כולל אלה שעל הציר עצמו, מספר הכלניות גדול ממספר החרציות או שווה לו.

קריאת מספר הוורדים בכל אחד מחמשת הזריםציר הוורדים הוא הציר המקווקו האנכי, וקווי העזר שלו הם הקווים האופקיים. לכן כל השורה האופקית שעליה מונח עיגול מציינת את אותו מספר ורדים:

חיפוש זוג שסכומו 7נבדוק אילו שני ערכים מתוך הרשימה מצטרפים ל-. הערך הגדול ביותר ברשימה הוא , ולכן הזר - שבו ארבעה ורדים - חייב להשתתף בזוג, ומולו נדרש זר שיש בו ורדים. הזר היחיד שבו ורדים הוא .

אימותאכן , וזהו הזוג היחיד האפשרי: כל זוג אחר מתוך הרשימה נותן סכום קטן מ-. מבין ארבע התשובות המוצעות מופיע רק הזר .

מה מייצגת כל צלע של המשולשכל אחת משלוש הצלעות מחברת שני קדקודים, וכל קדקוד מייצג זר שכולו מסוג אחד. הצלע הימנית, למשל, מחברת את קדקוד הוורדים עם קדקוד החרציות, ולכן כל זר שעליה מורכב מוורדים ומחרציות בלבד - ואין בו כלניות כלל. באותו אופן, על כל צלע אחד משלושת סוגי הפרחים חסר לגמרי.

כמה סוגים יש בזר שעל צלעאם הנקודה נמצאת על צלע אך אינה קדקוד, אזי אחד הסוגים חסר ושני הסוגים האחרים מופיעים בזר. כלומר יש בו בדיוק שני סוגי פרחים.

כמה סוגים יש בזר שבקדקודשלושת הקדקודים שייכים אף הם להיקף המשולש. בקדקוד נפגשות שתי צלעות, ולכן שני סוגי פרחים חסרים בו: זר כזה מורכב מ- פרחים מסוג אחד בלבד.

צירוף שתי האפשרויותהנתון היחיד הוא שהנקודה נמצאת על ההיקף, ואין לדעת אם היא קדקוד או לא. לכן מספר סוגי הפרחים בזר הוא אחד (אם מדובר בקדקוד) או שניים (בכל נקודה אחרת שעל ההיקף).