קיץ 2026 — הסברים לפרק ראשון בחשיבה כמותית

דרך א': כלל הסימניםשבר הוא מספר שלילי רק כאשר המונה והמכנה שלו הם בעלי סימנים מנוגדים. מכיוון שבכל ארבע התשובות המכנה בנוי מ- או מ-, עלינו לקבוע ראשית מהו סימנו של כל ביטוי בנפרד.

דרך ב': הצבת דוגמה מספריתאפשר גם להציב מספר שלילי נוח. נציב ו-, ונקבל:רק בתשובה (2) התקבל מספר שלילי.

הגדרת הממוצעהממוצע הוא סך כל הכמות מחולק במספר הפריטים שביניהם היא מתחלקת. כאן הכמות הנחלקת היא מספר החלונות , והפריטים שביניהם היא מתחלקת הם הקומות:

בדיקה בהצבת מספריםנציב מספרים נוחים כדי לוודא: נניח שבמגדל קומות ובו חלונות. במקרה כזה יש בכל קומה חלונות בממוצע, ואכן . נציב את אותם מספרים בשלוש התשובות האחרות ונראה שאף אחת מהן אינה נותנת :

המסקנהמספר החלונות הממוצע בכל קומה הוא .

בניית עזר - שני גבהים אל הבסיס הגדולנוריד מן הקדקודים ו- גבהים אל הבסיס הגדול, ונסמן את רגליהם ו-. הבנייה הזו מפרקת את הטרפז לשלושה חלקים: שני משולשים ישרי-זווית זהים בקצוות ומלבן באמצע - ובעזרתה אפשר לקרוא ישירות גם את אורך הבסיס וגם את הגובה.

מציאת אורך הבסיס הגדולהמלבן שבאמצע מבטיח ש-, כלומר . מכיוון שהטרפז שווה-שוקיים, שני המשולשים שבקצוות חופפים, ולכן גם . בסרטוט המקורי נתון ש-, ומכאן ששלושת החלקים שווים באורכם:

מציאת גובה הטרפזנתבונן במשולש שנוצר מן הבנייה: הוא ישר-זווית, אורך יתרו הוא השוק ואורך אחד מניצביו הוא ההיטל . הניצב השני הוא הגובה המבוקש. לפי משפט פיתגורס:נחסר משני האגפים, ונקבל , ומכאן ש-.

חישוב שטח הטרפזשטח טרפז הוא מכפלת סכום שני הבסיסים בגובה, חלקי :

בדיקת תשובה (1)הטענה: בדיוק שלושה מן המספרים מתחלקים ב-.
נבחר את שבעת המספרים . מהם מתחלקים ב- ארבעה מספרים: . מצאנו דוגמה שבה מספר המתחלקים ב- אינו שלושה, ולכן הטענה אינה נכונה בהכרח. נפסלת.

בדיקת תשובה (2)הטענה: בדיוק שניים מן המספרים מתחלקים ב-.
נבחר את שבעת המספרים . מהם מתחלקים ב- שלושה מספרים: . מצאנו דוגמה נגדית, ולכן הטענה אינה נכונה בהכרח. נפסלת.

בדיקת תשובה (3)הטענה: בדיוק שניים מן המספרים מתחלקים ב-.
נבחר את שבעת המספרים . מהם מתחלק ב- מספר אחד בלבד: . מצאנו דוגמה נגדית, ולכן הטענה אינה נכונה בהכרח. נפסלת.

בדיקת תשובה (4)הטענה: בדיוק אחד מן המספרים מתחלק ב-.
המספרים המתחלקים ב- מופיעים על ציר המספרים במרווחים קבועים של זה מזה. מכיוון שברשותנו רצף של מספרים עוקבים בדיוק, ברור שייכלל בו מספר אחד כזה, וברור גם שלא ייכללו בו שניים - שכן המרחק בין שני מספרים עוקבים המתחלקים ב- הוא , והרצף כולו משתרע על פני מספרים בלבד. הטענה נכונה אפוא תמיד.

זיהוי הקשתותהזווית היא הזווית שקדקודה והיא כלואה בין המיתרים ו-, ולכן היא נשענת על הקשת . הזווית , שקדקודה וכלואה בין המיתרים ו-, נשענת אף היא על הקשת . מכאן ששתי הזוויות שוות זו לזו.

זיהוי הקשת השנייהבאותו אופן, הזווית שקדקודה והזווית שקדקודה נשענות שתיהן על הקשת , ולכן גם הן שוות זו לזו. סיכום ביניים:

בדיקת התשובותנציב את השוויונות שמצאנו בכל אחת מן התשובות:מצאנו שתשובות (1) ו-(3) מציינות בדיוק את אותו סכום, ולכן אין אף אחת מהן יכולה להיות "הגדולה ביותר" באופן חד-משמעי.

מה מלמד הנתון שהמיתרים אינם מקביליםאילו היו ו- מקבילים, היו הקשתות ו- שוות זו לזו וכל שלושת הסכומים היו זהים. הנתון שהמיתרים אינם מקבילים מלמד אפוא שהקשתות אינן שוות - אך אין הוא מלמד איזו מהן גדולה יותר. אם הקשת גדולה מן הקשת , הסכום שבתשובה (2) הוא הגדול ביותר; ואם ההפך הוא הנכון, הסכומים שבתשובות (1) ו-(3) גדולים ממנו - ואז הם שווים זה לזה ואין ביניהם הכרעה. בשני המקרים אי אפשר להצביע על ביטוי יחיד שהוא הגדול ביותר.

הדרך הקצרה - "מה אנחנו רוצים?"בשאלות הסתברות כדאי לשאול בכל שלב מה בדיוק אנחנו רוצים שיקרה.
הכדור הראשון: לא אכפת לנו איזה צבע ייצא - כל תוצאה "טובה" לנו, שהרי הצבע שלו הוא שיקבע מה נרצה בהמשך. לכן ההסתברות בשלב זה היא .
הכדור השני: כאן אנחנו כבר רוצים שיצא כדור מאותו צבע של הראשון. מן הצבע הזה נותרו בשק כדורים, ובשק כולו נותרו כדורים, ולכן ההסתברות היא .
ההסתברות לשני השלבים יחד היא מכפלתם:

דרך ב' - פירוק המאורע לשני מקריםהמאורע "שני הכדורים בעלי אותו צבע" מתקיים בשני מקרים בלבד: שני הכדורים אדומים, או שני הכדורים ירוקים. מכיוון שבשק כדורים ומהם אדומים, הרי שהירוקים הם .

הסתברות ששני הכדורים אדומיםההסתברות שהכדור הראשון יהיה אדום היא . לאחר שהוצא כדור אדום נותרו בשק כדורים ומהם אדומים, ולכן ההסתברות שגם השני יהיה אדום היא . ההסתברות לשני המאורעות יחד היא מכפלתם:

הסתברות ששני הכדורים ירוקיםמספר הכדורים הירוקים זהה למספר האדומים, ולכן החישוב זהה לחלוטין:

חיבור שני המקריםמכיוון שמדובר במאורעות זרים - שני הכדורים אינם יכולים להיות אדומים וירוקים בעת ובעונה אחת - ההסתברות שאחד מהם יתרחש היא סכום ההסתברויות:שתי הדרכים נותנות כמובן את אותה תוצאה.

פישוט הביטוי בלי לחשב אותוראשית נסכם את הסוגריים ונפרק את התוצאה לגורמים נוחים:הפירוק הזה חוסך את החישוב המלא ומראה מיד אילו גורמים מוכלים במספר.

חישוב ההספק המשותףמכיוון ששניהם מלקטים בעת ובעונה אחת, ההספק המשותף שלהם הוא סכום ההספקים:כלומר בשעה אחת של עבודה משותפת הם מלקטים פטריות.

חישוב הזמן הדרושזמן העבודה הוא כמות העבודה חלקי ההספק. דרושות פטריות בלבד, ולכן:

המרה לדקותבשעה אחת יש דקות, ולכן:סך הכול הם ילקטו את הפטריות למרק בתוך דקות.

זיהוי השורות והעמודות הרלוונטיותהמונח "צמד תרופות" מתייחס לשלוש השורות האחרונות בטבלה בלבד: , ו-. המונח "תוך ימים לכל היותר" מתייחס לשתי עמודות ההבראה הראשונות - ימים ו- ימים - ואינו כולל את העמודה ימים.

סיכוםנחבר את שלוש התוצאות:סך הכול סוסים טופלו בצמד תרופות כלשהו והבריאו בתוך ימים לכל היותר.

הגדרת ההוצאה הכוללתעמודת "עלות הטיפול" מציינת את העלות לסוס אחד, ולכן ההוצאה הכוללת על סוג טיפול היא מכפלת העלות לסוס במספר הסוסים שטופלו באותו סוג טיפול, כפי שהוא מופיע בעמודה האחרונה.

המסקנהמבין ארבע התשובות המוצעות, ההוצאה הגבוהה ביותר היא דולרים, והיא על צמד התרופות .

מספר הסוסים מכל צבע בחווהתרשים העוגה מציג את אחוז הסוסים מכל צבע מקרב כלל הסוסים בחווה. מכיוון שבחווה סוסים:

מספר הסוסים שלא חלוהטבלה שלצד התרשים מציינת כמה סוסים מכל צבע חלו. מספר הסוסים שלא חלו הוא ההפרש בין מספר הסוסים מאותו צבע בחווה ובין מספר החולים:

חישוב ההפרשנחסר ונקבל:ההפרש בין מספר הסוסים החומים שלא חלו ובין מספר הסוסים הלבנים שלא חלו הוא .

כמה סוסים שחורים קיבלו את אותו טיפולמן הטבלה שלצד תרשים העוגה עולה שחלו סוסים שחורים. מהם קיבלו טיפול מאותו הסוג:

כמה מהם הבריאובשורת תרופה רשום שלא הבריאו סוסים מתוך , ומכאן שהבריאו:כל הסוסים האלה שחורים, ולכן סוסים שחורים לפחות הבריאו.

מדוע אי אפשר להבטיח יותר מ-נותרו עוד סוסים שחורים שחלו (), והם התפזרו בין שאר סוגי הטיפול. בשאר סוגי הטיפול לא הבריאו סוסים - יותר מ- - ולכן ייתכן בהחלט שכל הסוסים השחורים הנותרים נמנים עם מי שלא הבריאו. לכן המספר הקטן ביותר האפשרי של סוסים שחורים שהבריאו הוא .

חישוב אחוז המבריאיםמספר הסוסים שהבריאו בכל שורה הוא ההפרש בין סך כל הסוסים שטופלו ובין מספר הסוסים שלא הבריאו. אחוז המבריאים הוא מספר זה חלקי סך כל המטופלים.

בדיקת תרופה שני האחוזים זהים, ולכן הטענה נכונה בנוגע לתרופה .

איחוד שני השורשיםמכפלת שני שורשים שווה לשורש המכפלה, ולכן:

פישוט הביטוי שתחת השורשנציב את הפירוק, ונקבל:מכיוון ש- ו-, נקבל:

חלוקה ב-נחזור אל הביטוי המקורי ונחלק ב-:

תרגום התנאי לשפה מתמטיתהדרישה שכל ילד יקבל אותו מספר של ספרים ושלא תישאר שארית פירושה ש- מתחלק במספר הילדים ללא שארית. כלומר מספר הילדים הוא מחלק של .

מציאת כל המחלקיםנמצא את כל מחלקיו של באמצעות פירוקו לזוגות:מכאן שמחלקי הם: .

החלת תנאי הטווחנתון שמספר הילדים גדול מ- וקטן מ-. לכן יש לפסול את המחלק , שאינו גדול מ-. המחלק כן עומד בתנאי, שכן . נותרו:סך הכול אפשרויות שונות למספר הילדים שנמצאו בספרייה.

מציאת אורך היתרנסמן את אורך היתר ב-. לפי משפט פיתגורס במשולש ישר-זווית שאורכי ניצביו ו-:

מציאת הרדיוסהרדיוס הוא מחצית הקוטר, ומכיוון שהיתר הוא הקוטר:

חישוב שטח המעגלשטח מעגל שרדיוסו הוא . נציב את הרדיוס שמצאנו:

מה דרוש לחישובשטח מקבילית הוא מכפלת אורך הבסיס בגובה לאותו בסיס. אורך הבסיס נתון ושווה ל- ס"מ, ולכן כל שנותר הוא למצוא את הגובה. שימו לב שהצלע שאורכה ס"מ אינה הגובה, שכן היא נטויה ביחס לבסיס ואינה מאונכת לו.

בניית עזר - הורדת גובה אל הבסיסנוריד גובה מקדקוד אל הבסיס , ונסמן את רגלו .הגובה , הצלע שאורכה ס"מ והקטע יוצרים יחד משולש ישר-זווית. הזווית בקדקוד שווה לזווית הנתונה בקדקוד , שכן במקבילית זוויות נגדיות שוות, ולכן היא . סכום הזוויות במשולש הוא , ולכן הזווית השלישית היא:

חישוב הגובהאורך היתר הוא ס"מ, ולכן אורך כל ניצב, ובכללו הגובה, הוא:

חישוב השטחנציב בנוסחת שטח המקבילית. נשים לב ש-, ונקבל:

זיהוי החוקיותהמרחקים היומיים הם , ובכל יום הולך הצב מחצית מן המרחק שהלך ביום שקדם לו. נבדוק מה נותר לו לאחר כל יום:

כתיבת המרחק שנותר כחזקה של 2נכתוב את שלוש התוצאות שקיבלנו כחזקות, וכך תתגלה החוקיות:הכלל ברור: בתום היום ה- נותר לצב מרחק של קילומטר - המכנה הוא בחזקת מספר הימים שחלפו.

יישום החוקיות על היום העשירינציב ונקבל את המרחק שנותר לצב מסוף השביל בתום היום העשירי:

כתיבת המספרים לפי ערך המקוםמספר תלת-ספרתי בנוי מספרת המאות כפול , מספרת העשרות כפול ומספרת האחדות. לפיכך:

חישוב ההפרשנחסר את המספר השני מן הראשון. שימו לב שספרת העשרות זהה בשני המספרים ולכן היא מצטמצמת:נוציא כגורם משותף:

פסילת יתר התשובות בדוגמה נגדיתנציב , ו- - שלוש ספרות שונות בין ל- - ונקבל:נבדוק את התשובות מול המספר : הוא אינו מתחלק ב- (תשובה 1), אינו מתחלק ב- (תשובה 2) ואינו מתחלק ב- (תשובה 3). לעומת זאת , ולכן רק תשובה (4) נכונה בהכרח.

המשולש מכיוון ש-, הזווית שווה לזווית (זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים), כלומר . גם הזווית היא , שכן שווה-צלעות. מכאן שמשולש שווה-צלעות, ולכן:

המשולש באותו אופן, מכיוון ש-, משולש הוא שווה-צלעות, ולכן:

חישוב אורך הבסיס כולו הוא , ולכן:

חישוב הנקודות ו- מונחות שתיהן על הבסיס , והקטע הוא ההפרש בין ובין :